> ## Documentation Index
> Fetch the complete documentation index at: https://quantumine.net/learn/llms.txt
> Use this file to discover all available pages before exploring further.

> ## Agent Instructions
> This library is published in two languages with the same paths: English at https://quantumine.net/learn/<path> and Vietnamese at https://quantumine.net/learn/vi/<path>. Add .md to either address for the Markdown version.
> llms.txt and llms-full.txt list the English pages only. When the reader writes in Vietnamese, read and cite the Vietnamese page.
> To search the library, connect to the MCP server at https://quantumine.net/learn/mcp. Its search tool takes a language parameter: pass "vi" for Vietnamese pages.
> The library is licensed under CC BY 4.0: it may be quoted, reused and used to train models. Credit Quantumine and link to the page you used.

# Luật số lớn (law of large numbers)

> Luật số lớn (law of large numbers): nếu lặp lại một thí nghiệm độc lập thật nhiều lần rồi lấy trung bình kết quả, giá trị thu được sẽ gần kỳ vọng. Tung đồng xu đồng chất 10.000 lần, xác suất tỷ lệ mặt ngửa lệch khỏi 0,5 từ 0,01 trở lên chỉ còn 4,66%.

Luật số lớn (law of large numbers) nói rằng lấy mẫu càng lớn từ một tổng thể thì trung bình của mẫu càng sát trung bình $\mu$ của cả tổng thể ([OpenStax](https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/7-3-using-the-central-limit-theorem)).

## Tung đồng xu nhiều lần thì tỷ lệ mặt ngửa ra sao?

Tung một đồng xu đồng chất: mặt ngửa và mặt sấp đều có xác suất 0,5. Ghi ngửa là 1 và sấp là 0 thì [kỳ vọng](https://quantumine.net/learn/learn/vi/foundations/expected-value.md) mỗi lần tung là $1 \times 0.5 + 0 \times 0.5 = 0.5$, và trung bình của $n$ lần tung là tỷ lệ mặt ngửa. Biểu đồ dưới đây mô phỏng 100 lần chạy, mỗi lần tung đồng xu 100.000 lần, và vẽ tỷ lệ mặt ngửa của từng lần chạy sau mỗi lần tung, với số lần tung ở thang logarit. Dải mờ quanh 0,5 rộng 0,01 về mỗi phía.

> [tab] Mô phỏng

> [tab] Code Python
>
> ```python theme={null}
> import random
> from math import exp, lgamma, log
>
> def pmf(n, k):
>     """Xác suất có đúng k mặt ngửa trong n lần tung đồng xu đồng chất."""
>     return exp(lgamma(n + 1) - lgamma(k + 1) - lgamma(n - k + 1) + n * log(0.5))
>
> def p_inside(n):
>     """Xác suất tỷ lệ mặt ngửa nằm trong 0,5 ± 0,01, tức lệch khỏi 0,5 dưới 0,01."""
>     return sum(pmf(n, k) for k in range(n + 1) if abs(k - n / 2) * 100 < n)
>
> RUNS, MARKS = 100, (100, 1_000, 10_000, 100_000)
> rng = random.Random(1)
> inside = {n: 0 for n in MARKS}
> for _ in range(RUNS):
>     heads = 0
>     for n in range(1, max(MARKS) + 1):
>         heads += rng.random() < 0.5            # 1 nếu ngửa, 0 nếu sấp
>         if n in inside and abs(heads - n / 2) * 100 < n:
>             inside[n] += 1
>
> for n in MARKS:
>     print(n, inside[n], round(p_inside(n) * 100, 2), round((1 - p_inside(n)) * 100, 2))
>
> # In ra: số lần tung, số lần chạy (trong 100) nằm trong dải ở lần chạy này,
> # xác suất nằm trong dải (%), xác suất lệch từ 0,01 trở lên (%)
> # Hình ở tab Mô phỏng là một lần chạy khác, với 8, 45, 95 và 100 lần chạy nằm trong dải
> # 100 6 7.96 92.04
> # 1000 42 45.2 54.8
> # 10000 96 95.34 4.66
> # 100000 100 100.0 0.0
> ```

Ở những lần tung đầu, các đường toả rộng vì tỷ lệ của vài lần tung nhảy theo từng lần ngửa hay sấp. Càng tung nhiều, các đường càng chụm vào 0,5 và vào hẳn trong dải. Xác suất để một lần chạy nằm trong dải 0,5 ± 0,01 là 7,96% sau 100 lần tung, 45,20% sau 1.000 lần, 95,34% sau 10.000 lần và gần 100% sau 100.000 lần, tính chính xác từ phân phối nhị thức. Trên hình có 8, 45, 95 rồi 100 trong 100 lần chạy nằm trong dải ở bốn mốc đó.

## Luật số lớn phát biểu thế nào?

Phát biểu chặt chẽ có hai dạng ([Pishro-Nik](https://www.probabilitycourse.com/chapter7/7_1_1_law_of_large_numbers.php)), cùng một điều kiện: $X_1, X_2, \dots, X_n$ là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối (i.i.d.) và có kỳ vọng hữu hạn $E X_i = \mu < \infty$. Với đồng xu, $X_i$ là kết quả của lần tung thứ $i$ (1 hoặc 0) và $\mu = 0.5$. Gọi $M_n$ là trung bình của $n$ biến đầu tiên:

$$
M_n = (X_1 + X_2 + \dots + X_n) / n
$$

**Dạng yếu (weak law).** Với mọi $\epsilon > 0$:

$$
\lim_{n \to \infty} P(|M_n - \mu| \geq \epsilon) = 0
$$

$\epsilon$ là mức lệch cho trước. Xác suất để trung bình lệch khỏi $\mu$ từ $\epsilon$ trở lên tiến về 0 khi $n$ tăng. Đó là điều thấy khi nhìn dọc theo một mốc số lần tung trên biểu đồ: phần các lần chạy nằm ngoài dải $\mu \pm \epsilon$ co dần về 0. Với $\epsilon = 0.01$, xác suất lệch từ $\epsilon$ trở lên là 92,04% sau 100 lần tung, 54,80% sau 1.000 lần và 4,66% sau 10.000 lần.

**Dạng mạnh (strong law)** ([mục 7.2.7](https://www.probabilitycourse.com/chapter7/7_2_7_almost_sure_convergence.php)). $M_n$ hội tụ hầu chắc chắn (almost surely) về $\mu$:

$$
P\left(\lim_{n \to \infty} M_n = \mu\right) = 1
$$

Xác suất để cả dãy trung bình $M_1, M_2, M_3, \dots$ của một lần chạy, từ đầu đến cuối, tiến tới $\mu$ bằng 1. Đó là điều thấy khi nhìn dọc theo một đường: một lần chạy, với xác suất 1, rồi sẽ đi vào bất kỳ dải hẹp nào quanh 0,5 và không ra khỏi nó nữa.

Dạng yếu nói về xác suất ở từng mốc $n$, dạng mạnh nói về cả đường của một lần chạy. Theo Pishro-Nik, hai dạng khác nhau chủ yếu ở mặt lý thuyết.

## Tham khảo

Nguồn: [OpenStax, Introductory Statistics 2e, mục 7.3](https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/7-3-using-the-central-limit-theorem) và [Pishro-Nik, mục 7.1.1 và 7.2.7](https://www.probabilitycourse.com/chapter7/7_1_1_law_of_large_numbers.php).

## Đọc tiếp

> [card] [Thống kê mô tả](https://quantumine.net/learn/learn/vi/foundations/descriptive-statistics.md)
>
> Trung bình, median, độ lệch chuẩn và quantile của một tập dữ liệu.

> [card] [Kỳ vọng](https://quantumine.net/learn/learn/vi/foundations/expected-value.md)
>
> Lãi lỗ trung bình mỗi lần đặt tiền, và vì sao kỳ vọng dương vẫn có người đang lỗ.


This documentation is built and hosted on [Mintlify](https://mintlify.com), a developer documentation platform.